MATQO pixia corp.

reklama,vizitky,billboardy,plagaty,tlac,svadobne oznamy

zlazy rez

 

Fibonacciho postupnosť

Fibonacciho králiky

 

Taliansky matematik Fibonacci (1170-1230) sa volal v skutočnosti Leonardo Pisano. Stal sa známym svojou knihou „Liber abacci“, kde zhrnul vtedajšie znalosti o aritmetike a algebre. Vtedy známe matematické poznatky vysvetľoval na rôznych úlohách. Najznámejšia je úloha s králikmi, ktorá dala podnet na vybudovanie teórie Fibonacciho čísel.

Úloha znela asi takto:

Máme čerstvo narodený pár králikov opačného pohlavia. Sú schopné mať potomstvo od 1 mesiaca, takže na konci druhého mesiaca samička môže priviesť na svet ďalší pár králikov (vždy jednu samičku a jednoho samca). Uvažujme, že králiky nikdy nezomrú a samica porodí vždy pár králikov. Koľko králikov budeme mať o rok?

 

Je očividné, že:

Na konci prvého mesiaca bude pár iba jeden

Na konci druhého mesiaca sú páry dva (náš pár a čerstvo narodený)

Na konci tretieho mesiaca naša samička privedie na svet druhý pár- 3 páry

Na konci štvrtého mesiaca naša samička vyprodukuje ďalší pár, samica, ktorá sa narodila pred dvoma mesiacmi vyprodukuje svoj prvý pár- už ich je 5

Dá sa to vyjadriť aj takto:

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …- Fibonacciho čísla

na konci roka budeme mať 89 párov, čiže 178 králikov.

 

Ak sa lepšie prizrieme, uvidíme, že číslo je výsledkom predošlých dvoch, čiže:

…, 2, 3, 5 , …

číslo na prázdnom mieste bude súčtom dvoch predošlých-    2 + 3 = 5

Fibonnaciho čísla sú definované vzťahom:

F0 =0;  F1 =1; …; Fn = Fn-1+ Fn-2  pre n ³ 2

Táto postupnosť sa nazýva Fibonacciho postupnosť.  Meno Fibonacciho čísla, ktoré sú členy v tejto postupnosti, dal až francúzsky matematik Edouard Lucas o viac ako 600 rokov neskôr.

 

Medonosné včely a ich rodokmene

 

Každý určite pozná včelu medonosnú. Aj keď je väčšina druhov včiel samotárska, včela medonosná tvorí kolónie (úle). Majú zaujímavý rodokmeň, lebo sa dá vyjadriť Fibonacciho číslami.

 

Všetky samičky majú dvoch rodičou- kráľovnú a samca. Tie končia ako včely- robotníčky, ale niektoré sú kŕmené „kráľovskou kašičkou“. Vtedy sa z nich stanú kráľovné schopné opustiť úľ a založiť novú kolóniu. Trúdy (samce) majú iba jednoho rodiča-kráľovnú, lebo pochádzajú z neoplodnených vajíčok. Skúsme sa pozrieť na rodokmeň trúda:

Má ako rodiča len matku

Má dvoch starých rodičov (samica má dvoch rodičov)

Má troch pra-starých rodičov (samec má len mamu, samica, má dvoch)

Koľko pra-pra-starých rodičov má trúd?

 

Počet

rodičov

Starých rodičov

Pra-star. rodičov

Pra-pra-star. rodčov

Pra-pra-pra-star. rodičov

SAMEC

1

2

3

5

8

SAMICA

2

3

5

8

13

 

Odpoveďou je Fibonnaciho postupnosť…

 

Fibonacciho čísla v geometrii

 

S Fibonacciho číslami sa spája aj zaujímavý geometrický paradox. Je jasné, že ak rozložíme nejaký obrazec na niekoľko častí a potom ho vzápätí zložíme, mal by vyjsť nový obrazec, ale s rovnakým obsahom. Na obrázku vidíme premenu štvoruholníka (obr.č.1) na obĺžnik(obr.č.2). Obsah štvorca je 64 plošných jednotiek, obsah obdĺžnika je však 65 plošných jednotiek. Úsečky obmedzujúce časti štvorca aj obdĺžnika majú rozmer 3, 5, 8, 13- Fibonnaciho čísla…

Obr.č.1 a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prečo je to tak?

Ak by sme priložili trojuholník A k lichobežníku C a trojuholník B k lichobežníku D, nemôže byť uhlopriečka uhlopriečkou- viz obr.č.3

 

 

 

 

 

obr.č.3

 

 

 

 

 

 

 

 

Ako môžeme vidieť z obrázka, čiary EFK a EHK sú čiary lomené. Obdĺžnikový obrazec KLEG má naozaj plochu 65 polí, len s tým, že je v ňom štrbina kosodlžníkového tvaru EFKH s obsahom 1 pole.

 

Zlatý rez

 

Definícia: Je pomer dvoch častí úsečky, ktorá je rozdelená tak, aby platilo, že pomer dĺžky celej úsečky k dlhšej časti je rovnaký ako pomer dlšej časti ku kratšej. Pomenovanie pochádza od astronóma Keplera. Slovo „zlatý“ popisuje dokonalosť. Slovo „rez“ označuje pomyselnú priamku, alebo miesto, kde sa stretávajú myslené linky, ktoré určujú proporcie. Zlatý rez sa nachádza všade.

Rozmerové vlastnosti rastlín, zvierat a ľudí sa pridržiava hodnoty φ.

Podľa zlatého rezu sa stavali budovy a chrámy (Parthenon v Aténach, Cheopsova pyramída v Gize, Notre Dame v Paríži, OSN v New Yorku) (obr.č.4)

obr.č.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Katedrála Notre Dame v Paríži

 

 

 

 

 

Parthenón v Aténach

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                    

Cheopsova pyramida v gize

 

 

 

 

 

 

 

 

U slnečnice- priemer špirály v hlavičke ku nasledujúcej je φ.

φpoužil Stradovarius na výpočet, kam má umiestniť otvor v tvare f na svojich husliach.

V pentagrame- pomer všetkých úsečiek v pentagrame je φ, preto je najdokonalejším zobrazením zlatého rezu- ak sa pozrieme na Vitruviovho muža od Leonarda da Vinci, je postavený ako pentagram (uvažujeme roztiahnuté nohy).

 

Zlatý rez má určitú úlohu v rytme srdca, nachádza sa v ľudskej tvári, rovnako ako v tele. Uskutočnili sa štúdie, ktoré potvrdili, že tváre topmodeliek sa blížia k zlatému pomeru oveľa viac ako tváre iných ľudí. No a keďže je preukázané, že zlatý rez je veľmi príjemný pre oči, preto väčšina maliarov neumiesťnovala hlavný motív do stredu obrazu, ale do tzv. optického stredu, ktorý býva daný použitím pomeru zlatého rezu - je pochopiteľné, že sa topmodelky tak páčia.

Zlatý rez využívalo veľa maliarov, architektov, umelcov a skladateľov, ale keďže je náš projekt o Leonardovi da Vincim, spomeniem jeho. V obraze Vitruviov muž Leonardo nakreslil presné proporcie tela podľa zlatého rezu, tváre maľoval tak, aby sa blížili zlatému pomeru a vo svojom obraze Posledná večera je je obrus v dolnej tretine- zase zlatý rez.

Listy, ak vyrastajú jednotlivo sú jeden od druhého viac či menej posunuté o určitý uhol. Tento uhol sa dá zapísať v tvare zlomku, ktorý nám hovorí, akú časť kružnice vytína. Čísla v zlomkoch (čitateľoch aj menovateľoch) tvoria Fibonacciho postupnosť.

 

1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21,…

 

Zaujímavá je štruktúra zlomkov. Vezmime si zlomok 3/8. Predchádza mu zlomok 2/5. Čitateľ získame odčítaním menovateľa od čitateľa v predošlom zlomku, to znamená 5 – 2 = 3. Do nového čitateľa teda zapíšeme 3. Menovateľa získame sčítaním čitateľa, ktorého sme teraz vypočítali a menovateľa z predošlého zlomku, čiže: 5 + 3 = 8. Takže si už iba zopakujeme nový zlomok: 3/8. Zároveň keby sme si dali vedľa seba do dvoch rádd čitatele a menovatele, dostali by sme zase Fibonnaciho postupnosť a mohli by sme to porovnať s tabuľkou rodokmeňa včiel a trúdov:

 

Čitatele (samec)

 
www.grafika.sk